저도 그런 적 있었어요
카톡이 일시적으로 서버랑 제대로 연결이 안 되면 그런 현상이 생기더라구요
1 표시 안 뜨고 종이비행기 모양만 뜨는 건 메시지가 아직 서버에 전달이 안 된 상태래요
데이터 껐다 켜면 잠깐은 해결되지만, 근본적으로는 네트워크 문제거나 앱 캐시가 꼬인 경우일 수도 있어요
저는 그럴 때 카톡 설정 들어가서 캐시 삭제하고, 백그라운드 데이터 허용 다시 체크해주니까 조금 나아졌어요
그래도 계속 그러면 카카오톡 완전 삭제 후 재설치하거나, 최신 버전으로 업데이트해보는 게 제일 확실하더라구요.