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아래는 공통수학Ⅱ에서 등장하는 위상수학 개념과 실생활 사례를 표 없이 자연스럽게 정리한 버전입니다.

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공통수학Ⅱ – 위상수학 개념 & 실생활 사례 (출처 없음)

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공통수학Ⅱ에서는 위상수학을 직접적으로 배우지는 않지만, 극한·연속·구간·함수 그래프의 성질 등에서 위상수학의 기본적인 아이디어들이 자연스럽게 스며 있습니다. 아래는 학생 입장에서 이해하기 쉽게 개념과 실생활 사례를 연결해 정리한 내용입니다.

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1. 연속(Continuous)의 개념

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연속이란 “입력이 조금 변하면 출력도 조금 변한다”는 성질입니다. 공수Ⅱ에서 배우는 연속함수, 극한 개념, 그래프의 끊김 여부 등은 모두 이 아이디어를 기반으로 합니다.

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실생활에서는 네비게이션 경로 안내가 좋은 예입니다. 자동차가 조금 이동하면 경로도 조금만 조정되지, 갑자기 전혀 다른 길로 안내하지는 않습니다. 또한 스마트폰의 볼륨 버튼처럼 조금 누르면 소리도 조금 변하는 경우도 연속성을 직관적으로 보여줍니다.

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2. 열린구간과 열린집합의 아이디어

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공수Ⅱ에서 자주 등장하는 열린구간(예: 1 < x < 3)은 위상수학의 열린집합과 연결되는 개념입니다. 어떤 점 주변에 “충분히 작은 범위”가 존재한다는 생각이 핵심입니다.

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실생활에서는 오늘 기온이 18~22도처럼 표현되는 온도 범위가 열린구간의 느낌과 비슷합니다. 또한 지하철 혼잡도를 “약간 붐빔” 같은 범위로 나타내는 것도 특정 값을 하나만 보는 것이 아니라 그 주변 전체 상태를 함께 고려하는 열린집합의 직관과 닮았습니다.

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3. 이산적(Discrete) 구조

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이산성은 하나하나 따로 떨어진 점들의 집합을 의미하는데, 공수Ⅱ에서는 정수 문제, 점 찍기 문제, 함수의 정의역이 특정한 값들로 이루어지는 상황에서 등장합니다.

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일상에서는 계단처럼 한 칸씩 구분되는 구조가 이산적인 형태입니다. 또한 버스 도착 시간이 “정해진 시각마다” 있는 것도 연속적인 변화가 아닌, 분리된 값들로 이루어진 이산적 현상입니다.

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4. 연결성(Connectedness)

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연결성이란 어떤 공간이나 그래프가 한 덩어리인지, 중간에 끊어진 부분이 있는지를 판단하는 개념입니다. 공수Ⅱ에서는 함수 그래프가 끊어져 있는지, 증가·감소하는 구간이 어떻게 이어지는지를 이해할 때 자연스럽게 사용됩니다.

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실생활에서는 지도를 생각하면 이해하기 쉽습니다. 어느 길이 이어져야 자동차가 다닐 수 있는 것처럼, 길이 중간에 끊겨 있다면 연결성이 없는 상태입니다. 배달 가능 지역이 구역에 따라 이어져 있거나 단절돼 있는 것도 연결성 개념의 좋은 사례입니다.

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5. 형태 변형과 본질 유지의 개념

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위상수학에서는 찢거나 붙이지 않는 선에서 늘리고 구부려도 같은 공간으로 본다는 아이디어가 있습니다. 공수Ⅱ에서는 직접 다루지 않지만, 도형 변환이나 좌표 변환에서 “모양이 달라져도 성질은 유지되는 경우”와 연결됩니다.

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예를 들어 풍선은 부풀리거나 줄어들어도 전체적인 둥근 형태는 유지됩니다. 고무줄로 만든 지도처럼 실제 비율은 변해도 길이 이어져 있는 연결 구조는 그대로 유지되는 것도 비슷한 개념입니다.

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마무리 정리

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공수Ⅱ에서 배우는 여러 개념들은 위상수학을 깊게 파고들기 전에 자연스럽게 접하는 기초 아이디어들입니다. 연속성은 실제로 우리가 사용하는 모든 디지털 장치에 숨어 있고, 열린구간은 어느 값 주변의 상태를 분석할 때 활용되며, 이산성은 시간표나 계단처럼 일상에서 흔히 보입니다. 연결성과 형태 변형에 대한 감각은 지도를 읽거나 물체의 구조를 파악할 때 자연스럽게 적용되고 있습니다.